【問 題】
放射性物質は崩壊して、その質量は次第に減少していく。
その減少する割合は、時刻 \( t \) において残存する質量 \( x \) に比例する。
その比例定数を \( k \left( k \gt 0 \right) \) として、次の問いに答えよ。
(1) \( x \) と \( t \) の関係を微分方程式で表せ。
(2) (1)を解いて、 \( x \) を \( t \) の関数で表せ。ただし、放射性物質の最初 \( \left( t = 0 \right) \) の質量を \( m_0 \) とする。
(3) ある放射性物質の半減期は1600年である。その質量が3分の1になるのは何年かかるか
ただし、 \( \log 2 = 0.693 \) 、 \( \log 3 = 1.099 \) とする。
【解 答】
(1)
$$ \dfrac{dx}{dt} = - kx $$(2)
$$ \begin{eqnarray} \int \dfrac{1}{x} & = & - \int k dt \\ \log | x | & = & - kt + C \quad \left( \because Cは積分定数 \right) \\ | x | & = & e^{c}e^{-kt} \\ x & = & e^{c}e^{-kt} \quad \left( \because 質量x \gt 0 \right) \end{eqnarray} $$\( t = 0 \) のとき、\( x = m_0 \) であるため、 \( e^c = m_0 \)
$$ \therefore x = m_{0}e^{-kt} $$(3)
1600年で２分の１、u年で３分の１になるとすれば、
$$ \begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}m_0 & = & m_{0}e^{-1600k} \\ \dfrac{1}{2} & = & e^{-1600k} \\ - \log 2 & = & - 1600k \\ \therefore k & = & \dfrac{\log 2}{1600} \\ \\ \dfrac{1}{3}m_0 & = & m_{0}e^{-ku} \\ \dfrac{1}{3} & = & e^{-ku} \\ - \log 3 & = & -ku \\ u & = & \dfrac{\log 3}{k} \\ & = & \dfrac{1600 \times \log 3}{\log 2} \\ & = & \dfrac{1600 \times 1.099}{0.693} \fallingdotseq 2537 \end{eqnarray} $$ $$ \therefore 質量が3分の1になるのに 2537年 かかる。 $$